Cultura e Società

Lo vedo, ma non ci credo: Georg Cantor, cent’anni dopo

Vita e morte di una delle figure fondamentali della matematica moderna

1862, Zurigo. Dopo essersi diplomato con successo alla Höhere Gewerbeschule (una sorta di scuola superiore d’eccellenza), Georg Cantor si iscrive al Politecnico. Il padre, un mercante, desidera che entri a far parte del firmamento dell’ingegneria dell’epoca. Il giovane Georg, tuttavia, sente di essere attratto da interessi di ben altro tipo. Discute a lungo con il padre, ed infine gli strappa un “sì”: nello stesso anno, si iscrive alla facoltà di matematica.

La proficua carriera di uno dei più grandi matematici della storia inizia così, con una scelta che, a posteriori, si potrebbe giudicare quasi “miracolosa”: se Cantor avesse seguito i desideri del padre, forse, oggi non vivremmo nel paradiso che lui stesso ha creato. L’uso del lessico religioso non è casuale, e ci torneremo.

Georg Cantor
Georg Cantor

Gli anni dell’istruzione di Geog Cantor

Cantor dopo poco, a seguito della morte del padre, si sposta a Berlino, e studia nel fecondo ambiente dell’epoca, dominato da figure come Weierstrass e Kronecker. Si laurea infine nel 1867, con una tesi in teoria dei numeri. Trascorre un breve periodo a insegnare in scuole secondarie finché, finalmente, non supera l’esame di abilitazione e diviene professore universitario ad Halle. Qui rimarrà per il resto della propria vita, con grande rammarico (puntava, infatti, ad una cattedra nella ben più prestigiosa Università di Berlino).

La ricerca di Cantor cambia un po’ direzione, si rivolge a problemi più analitici – sotto la direzione di Heine, si mette a lavorare su questioni di sviluppo in serie trigonometriche, questioni attaccate senza successo da figure come Dirichlet, Lipschitz e Riemann. Nonostante questa illustre storia di fallimenti, Cantor riesce nel risolvere il problema centrale di unicità di tali sviluppi, guadagnandosi la promozione a Professore Straordinario con una serie di articoli fra il ‘70 e il ‘72. Proprio in quest’ultimo anno, pubblica un articolo in cui dà la propria definizione (poi estesa e divenuta famosa) di “numero irrazionale”. Articolo che influenzerà il lavoro seguente di Dedekind che, nel medesimo anno, pubblicherà la sua celeberrima costruzione dei numeri reali.

L’argomento diagonale

Sono tutti lavori fondamentali, ma la vera svolta nel lavoro di Cantor giunge nel 1873: la dimostrazione della non numerabilità dei numeri reali (anche conosciuta come argomento diagonale). Su quest’ultima vale la pena di spendere due parole, esulando dalla natura storica di questo articolo, perché si tratta di un risultato eccellente. L’idea di base è la seguente: un insieme è detto “numerabile” se esiste una funzione “uno ad uno” (in gergo si dice biettiva) con l’insieme dei numeri naturali. I numeri naturali sono quelli costruiti contando con le dita: uno, due, tre, e via dicendo. Dire che un insieme è “numerabile” significa dire che posso scrivere una lista, seppur infinita, dei suoi elementi. Cosa ci sta dicendo Cantor? Che l’insieme dei numeri reali, che sono l’oggetto tipico che si tratta nei corsi di Analisi di base, sono di più. Così tanti di più, che una lista numerata non basta. La dimostrazione utilizza un argomento geniale, uno dei cosiddetti argomenti diagonali, che molto in breve si può riassumere con “data una lista, anche infinita, di numeri reali, posso sempre immaginarne uno che non c’è”.

A questo punto, Cantor è in fibrillazione. Scambia lettere con Dedekind con frequenza impressionante. Sente di essere sulla strada giusta.

argomento diagonale
Un’illustrazione dell’originale argomento diagonale di Georg Cantor

Nel 1877 scrive a Dedekind la celebre frase “Lo vedo, ma non ci credo!”. Si riferisce alla dimostrazione che l’insieme dei numeri reali fra 0 ed 1 ha tanti elementi quanto un quadrato nel piano, un cubo nello spazio, e così ad libitum. Nello stesso anno, Cantor si vede criticato da uno dei più grandi matematici dell’epoca, Kronecker. La cosa lo colpisce nel profondo, e influenzerà il resto della sua vita. Nonostante ciò, nel 1878 Cantor introduce una prima “classificazione” degli insiemi via potenza, ovvero dice che due insiemi sono “equipotenti” se c’è una funzione uno ad uno fra i due. La strada per la teoria degli insiemi sembra ormai spianata. Fra il 1879 e il 1884 pubblica sei articoli sui Mathematische Annalen che fanno da introduzione alla teoria degli insiemi.

L’inizio del declino di Georg Cantor

Sono anni di grande creatività e innovazione, ma la vita personale di Cantor sembra fare da contraltare. Litiga con Schwarz, altro grande matematico dell’epoca, e quando Heine muore Cantor propone a tre figure di spicco di ricoprire la sua cattedra ad Halle. Tutte e tre, in primis Dedekind per cui Cantor aveva una forte ammirazione, rifiutano. Nel 1882, la corrispondenza fra i due, che si era rivelata fruttuosa di idee, termina.

Sono anni difficili per Cantor. Nel 1884 crolla sotto l’attacco di una forte crisi depressiva. Si riprende, ma la situazione non è più rosea. Kronecker critica aspramente il suo lavoro. I due fanno pace, ma i punti di distacco filosofico e matematico non si risaneranno mai. Cantor è tormentato dai problemi della sua teoria, quasi non ci dorme la notte. L’ipotesi del continuo è un pensiero fisso, a cui non sembra trovare soluzione. Nel 1885, Mittag-Leffler – con cui aveva stretto un ottimo rapporto epistolare, e che gli permetteva di pubblicare su Acta Mathematica – gli suggerisce di ritirare un suo articolo. La motivazione nasce da un atto di gentilezza: secondo Mittag-Leffler, il lavoro di Cantor è giunto “cent’anni troppo presto”. Cantor ne è visibilmente ferito. La corrispondenza con l’altro matematico termina e, con essa, in apparenza, il suo flusso creativo.

Cantor si rivolge ad altre tematiche, principalmente filosofiche. Fonda un’associazione di matematici, invita Kronecker al primo incontro, cui questi non partecipa (non per altro motivo se non per il fatto che era al capezzale della moglie morente). Viene eletto presidente, ma salta il successivo incontro a Monaco per motivi di salute. Nel 1894 pubblica un articolo in cui mostra che la Congettura di Goldbach è vera per numeri inferiori a 1000. Quarant’anni prima, era stata confermata per numeri inferiori a 10000. La salute mentale di Cantor sembra essere ormai compromessa.

Monumento a Georg Cantor, Halle
Monumento a Georg Cantor, Halle.

Nel 1897 partecipa al primo Congresso Internazionale dei Matematici, a Zurigo. Viene elogiato a profusione, tuttavia è turbato, perché è venuto a conoscenza di uno dei paradossi della propria teoria, il cosiddetto paradosso di Burali-Forti. La corrispondenza con Dedekind riprende, proprio riguardo a questo problema, ma termina dopo poco.

Gli ultimi anni di Georg Cantor

L’ultima parte della vita di Cantor è travagliata. Abbandona la matematica per la filosofia, e dedica grande fatica e passione a provare una tesi alquanto bizzarra, cioé che dietro al nome di Shakespeare e alle sue opere si celi in realtà Francis Bacon. Studia letteratura di epoca elisabettiana, pubblica pamphlets. Negli anni seguenti perde la madre, un fratello ed il figlio minore. I casi di depressione si fanno più frequenti, è costretto a prendersi lunghe pause dall’insegnamento. Tiene alcune conferenze sulle antinomie della teoria degli insiemi, partecipa al Congresso del 1904. Viene invitato in Scozia come studioso di chiara fama, ma si comporta come un’anima in pena, parla a chiunque incontri della sua teoria su Bacon e Shakespeare. Non riesce nel suo intento di incontrare Russell, ed è costretto a tornare in Germania. Va finalmente in pensione nel 1913, in periodo di guerra, e vive gli ultimi istanti in un sanatorium, pregando la moglie di farlo uscire di lì. Fra quelle mura muore, nel 1918.

Quest’anno, il 6 di Gennaio, si festeggia il centenario della morte di quella che, a mio parere, è stata una delle figure fondamentali della storia della matematica moderna. Nel 1926, in una conferenza in cui attaccava apertamente Brouwer, celebre per le sue posizioni forti su cosa sia matematica, Hilbert dirà che “Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können,” ovvero “Nessuno può cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi”.

La teoria degli insiemi decolla dopo la morte di Cantor, e ad oggi è un settore proficuo e profondo, ricco di questioni fondazionali importantissime. Nonostante una vita travagliata, dunque, e le durissime opposizioni subite, il nome di Cantor rimarrà per sempre scolpito nel firmamento della matematica. Grazie al cielo, non in quello dell’ingegneria.

Riferimento: l’ottima pagina del MacTutor History of Mathematics Archive su Georg Cantor, la principale fonte dell’articolo [link].

Simone Ramello

Sono la comare che abita vicino a casa vostra e racconta al paese di quella volta che vi siete versati la conserva addosso: non interessa a nessuno, non è nemmeno divertente, ma questo non mi fermerà.
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